O Homem Vitruviano

O Homem Vitruviano é um desenho de Leonardo da Vinci que apresenta o corpo humano a partir das proporções ideais. 

Elaborado através dos conceitos expostos na obra "De Architectura" do arquiteto romano Marcus Vitruvius Pollio, a ilustração representa o ideal de beleza e a harmonia nas proporções. 

Na imagem do Homem Vitruviano é possível notar que os braços e as pernas do corpo humano estão divididos por linhas retas cujas distâncias são proporcionais à razão matemática 1,618, conhecida como Número de Ouro, Proporção Áurea ou Escala de Deus.

Veja na apresentação que se segue as relações matemáticas do homem vitruviano (número de ouro). 

Escher: Autorretrato em Esfera Espelhada (1935)

MC. Escher: Autorretrato

Hoje proponho-lhe que conheça o Autorretrato em Esfera Espelhada (1935) do artista  HMC. Escher, 1898 - 1972.

Escher foi um artista gráfico holandês, conhecido pelos trabalhos em xilogravura e litogravura que representam obras fantásticas, incomuns, com várias perspectivas, geradoras de ilusão de ótica no observador. Foi considerado um artista matemático, sobretudo geométrico.

A primeira fase da obra de Escher foi o "Período das Paisagens" (1922-1937), época em que viveu na Itália.
No "Período das Metamorfoses"(1937-1945), é quando uma forma ou objeto eram transformados em algo completamente diferente – tornando-se um dos temas favoritos de Escher.

A terceira fase foi o "Período das Gravuras Subordinadas à Perspectiva" (1946-1956). 

A quarta fase da obra de Escher foi o "Período da Aproximação ao Infinito" (1956-1970).

Escher deixou uma produção de 448 litografias e xilogravuras e mais de 2 mil desenhos e esboços, além de ter ilustrado livros, tapeçarias, selos e murais.

Isto É Que É Ser Bom Em Cálculo!

Isto é que é ser bom em cálculo! 

Impressionante!

Não perca a oportunidade. Vale mesmo a pena.

Ora veja.

A Equação de Al Khawarizmi

Al Khawarizmi é considerado o fundador da Álgebra, mas talvez seja mais conhecido como aquele que melhor definiu em poucas palavras, o ser humano.
Al Khawarizmi
Perguntaram a este grande matemático árabe o que ele achava sobre o ser humano. Al Khawarizmi respondeu :
- "Se tiver Ética, ele é  1;
- Se também for Inteligente, acrescente 0 e será 10;
- Se também for Rico, acrescente mais um 0 e será 100;
- Se também for Belo, acrescente mais um 0 e será 1000.
Mas... se perder o 1, que corresponde à Ética, então perderá todo o seu valor e restarão apenas os zeros."

A de Equação de Al-Khwarizmi

Abu Abdallah Mohammed ibn Musa Al-Khwarizmi (780 – 850) foi um matemático, astrónomo, geógrafo e historiador. É do seu nome que deriva o termo "algarismo", em português.
Al-Khwarizmi é considerado o fundador da Álgebra, mas é talvez, a pessoa que melhor defeniu em poucas palavras, o ser humano.
Um dia perguntaram a este grande matemático, como era o ser humano e ele respondeu:

• "Se tiver Ética, ele é  1
• Se também  for Inteligente, acrescente 0 e será 10
• Se também for Rico, acrescente mais um 0 e será 100
• Se também for Belo, acrescente mais um 0 e será 1000
• Mas... se perder o 1, que corresponde à Ética, então perderá todo o seu valor e restarão apenas os zeros."

O Cálculo Mental

O cálculo mental é uma modalidade de cálculo que tem recebido pouca atenção, tanto no
currículo escolar, quanto entre alguns educadores.
No entanto, no nosso quotidiano, quando somos confrontados com algum problema matemático, geralmente realizamos operações mentais de cálculo. Contudo, na escola essa modalidade de cálculo não tem recebido a mesma atenção que o cálculo escrito.
Veja com atenção o vídeo que se segue e, espante-se com as capacidades reveladas por estudantes filipinos, de várias idades, em frente a câmaras de televisão, no que se refere ao cálculo mental.
E agora aprenda como se deve treinar o cálculo mental. O cálculo mental é muito importante para quem quer ganhar tempo na resolução de questões do dia a dia onde não se pode usar uma calculadora. Em primeiro lugar é importante saber a tabuada e treinar! Ora veja.!

A Simetria na Natureza

Dália

O Homem através da observação atenta do mundo que o rodeia constatou que havia uma enorme variedade de formas. Algumas dessas formas possuem regras e princípios de organização que as tornam muito regulares, ou seja têm uma forma geométrica.
Ao estudar, imitar e copiar estas formas o Homem criou e desenvolveu uma nova área do saber - a Geometria.
Em que formas encontradas na natureza é que o Homem se inspirou para construir as suas ferramentas, os seus utensílios, o seu vestuário ou as suas criações artísticas?

Aloe Polyphylla

Uma das primeiras características geométricas que buscou quando procurou detectá-las na Natureza foi, porventura, a simetria.
Pode ver aqui, atarvés destas fotos, como existem figuras na Natureza que são simétricas, ou seja, que são idênticas para o lado esquerdo e para o lado direito de um eixo.
Mas há outros seres vivos que têm simetrias diferentes! O exemplo mais clássicoé o dos favos de mel produzidos pelas abelhas.

Hoya Aldrichii

E haverá geometria no ADN, o material genético que recebemos dos nossos pais e que transmitimos aos nossos filhos e cuja maior parte se encontra no núcleo das células?
Claro que sim! O ADN é formado por duas cadeias enroladas em espiral ligadas entre si por bases. É como se fosse uma escada enrolada em que os degraus são formados por duas metades que se ligam de uma única maneira.
Em suma, a Geometria encontra-se por todo o lado na Natureza! Descubra-a aqui através dos 3 exemplos que seleccionei para hoje.

As Conchas Marinhas

As conchas marinhas são mais uma amostra incrível da beleza que a natureza nos proporciona. Estas têm formas curiosas, cores brilhantes e modelos por vezes
espetaculares. Embora algumas conchas sejam frágeis e se quebrem facilmente, muitas
são sólidas e agradáveis de tocar, o que faz delas um objeto fácil de se colecionar.
As conchas são incrivelmente belas pela sua regularidade e simetria, transformando-se em verdadeiras jóias naturais.
Muitos aspectos do crescimento das conchas resultam em verdadeiras demonstrações de geometria e engenharia estrutural e pelas suas formas elaboradas, parecerem governados por regras muito complexas, que podem ser descritos por leis matemáticas muito simples.

A "inteligência" necessária para tudo isto, está gravada no DNA de cada espécie. Há espécies com mais de 500 milhões de anos sem evolução. É o caso do Nautilus. Os nautilóides (Nautilidae) são cefalópodes marinhos arcaicos que foram muito abundantes no período Paleozóico, existindo ainda um género vivo — o náutilus — que vive no sudoeste do Oceano Pacífico.
Têm uma cabeça dotada de olhos bem desenvolvidos com braços preênseis. São nadadores ativos, tendo uma concha formada por uma série de câmaras separadas por tabiques; estas comunicam entre si por orifícios. O animal ocupa a última câmara e as outras, cheias de gás, fazem de flutuadores.
O nautilus é um dos seres vivos que apresenta a razão (equação) áurea no seu corpo, desenvolvido em forma de espiral logarítmica.

A maior colecção de conchas do mundo pertence ao imperador do Japão e tem mais de 10 mil espécies. 

E agora um vídeo sobre o mesmo assunto.

Potências De 10: Do Micro Ao Macrocosmos

Faça uma viagem virtual do micro ao macrocosmos, ou seja, veja o mundo em diversas escalas, que vão do muito pequeno ao muito grande.
"Potência de Dez" foi produzido em 1977 e, sendo um filme de culto, é, também, um dos melhores exemplos do que é produzir materiais didácticos.
O vídeo de hoje, "Potências De 10:  Do Micro Ao Macrocosmos", é um video baseado num ficheiro em power point, da NASA, em que se mostra a nossa galáxia, desde as partículas mais pequenas até aos aspectos mais significativos. Uma escala é um método de ordenação de grandezas físicas que permite a comparação. Em cartografia uma escala é a relação existente entre as medidas no mapa e as distâncias correspondentes no terreno.
Já agora, a ideia de potência é muito antiga e desde os tempos mais remotos que as suas aplicações facilitaram a vida humana, auxiliando e tornando possíveis muitas representações matemáticas e solucionando problemas de elevado grau de complexidade.
Assim como todas as outras descobertas do homem, as potências possibilitaram o surgimento de novos horizontes e permitiram a expansão dos conhecimentos humanos. Nortearam viagens inimagináveis pelos campos abstratos da matemática e alicerçaram ciências afins como a astronomia, a física, a química e a biologia.
Foi Arquimedes que percebeu um facto curioso: que havia uma grande repetição de multiplicações que envolviam o número 10. Surgiu então a ideia de representar este facto usando a potência de base 10. Hoje é utilizada como notação científica e aplicada em várias áreas do conhecimento humano.

O Pi e o Fi

Na matemática, o PI é uma proporção numérica que tem origem na relação entre o perímetro de uma circunferência e seu diâmetro; por outras palavras, se uma circunferência tem um  perímetro  p e um diâmetro d, então aquele número é igual a p/d.  O Pi é representado pela letra grega π. A letra grega π (lê-se: pi), foi adotada para o número a partir da palavra grega para perímetro, provavelmente por William Jones em 1706, e popularizada por Leonhard Euler alguns anos mais tarde. Outros nomes para esta constante são constante circular, constante de Arquimedes ou número de Ludolph.
Já o  FI é a vigésima-primeira letra do alfabeto grego. No sistema numérico grego vale 500. Era pronunciado como um "f" bilabial e transcrito geralmente como "ph". Representa o número de ouro.
Se quiser ficar a conhecer mais algumas características e curiosidades acerca do Pi e do FI, basta ver com atenção a  bela apresentação que se segue.
 

Um "Craque"!

O Nuno Rodrigues é um estudante de Fafe, que com apenas 11 anos se transformou num " craque" em cálculo mental.
O Nuno, já se sagrou por duas vezes consecutivas campeão mundial de cálculo mental no Concurso Internacional de Cálculo Mental Super T Matic. Este concurso, dirigido a alunos do ensino básico, começa por ter âmbito nacional. Os melhores são apurados, depois, para o torneio internacional de cálculo mental, que conta com participações de escolas de todo o mundo.
O Nuno Rodrigues desde pequeno que mostrou capacidades acima do normal, tendo-se tornado num  aluno com notas altas não só a matemática, mas também, a todas as disciplinas. Se o quiser conhecer um pouco melhor basta clicar aqui e assistir à  reportagem que a RTP realizou, sobre este jovem do 7º ano.

O Quadrado Mágico de Dürer

Albrecht Dürer (1471 — 1528) foi um gravador, pintor, ilustrador, matemático e teórico de arte alemão. É, provavelmente, o mais famoso artista do Renascimento nórdico. Influenciou artistas do século XVI não só no seu país, mas também nos Países Baixos. A sua maestria como pintor foi o resultado de um trabalho árduo e, no campo das artes gráficas, não tinha rival. As suas xilogravuras, consideradas revolucionárias são ainda marcadas pelo estilo gótico. É considerado como o primeiro grande mestre da técnica da aguarela, principalmente no que diz respeito à representação de paisagens. Os seus interesses, no espírito humanista do Renascimento, abrangiam ainda outros campos, como a geografia, a arquitectura, a geometria e a fortificação.
Conseguiu chamar a atenção do imperador Maximiliano I para o seu trabalho, tendo sido por ele nomeado pintor da corte em 1512. Em 1520, depois da morte do imperador, partiu para os Países Baixos, visitou muitas das cidades do norte da Europa e conheceu pintores e homens de letras, como Erasmo de Roterdão. Nos seus últimos anos de vida , em Nuremberga, ocupou-se principalmente com a elaboração de tratados sobre a medida e proporções humanas, perspetiva e geometria, como elementos estruturantes da obra de arte. Dürer tornou-se famoso numa idade relativamente jovem e deixou-nos o seu "Quadrado Mágico".
O Quadrado Mágico é uma tabela quadrada de lado n , onde a soma dos números das linhas, das colunas e das diagonais é constante, sendo que nenhum destes números se repete. A sua origem não é bem definida. Mas, há registos da sua existência em épocas anteriores à nossa era, quer na China quer na Índia. O quadrado de 3 é

encontrado a primeira vez num manuscrito árabe, no fim do Século VIII, e atribuído a Apolónio de Tiana (Século I) por Marcellin Berthelot.
Na Idade Média os quadrados mágicos tornaram-se muito populares pelo seu uso em Pentáculos e Talismãs, onde eram associados a Planetas que atribuiam ao mesmo o poder de atrair as influências astrais destes, para proteção de seus detentores.

Veja agora uma apresentação, que lhe mostra o Quadrado Mágico de Dürer, que apareceu representado no canto superior direito da gravura Melancholia, obra deste pintor e ilustrador alemão.

O Diabo dos Números

O Diabo dos Números é um livro de Hans Magnus Enzensberger, um grande poeta e pensador alemão contemporâneo.

"O Diabo dos Números", usa as letras como arma, traduzindo o pensamento matemático para uma linguagem acessível aos estudantes. O autor ensina o personagem Robert, a gostar ainda mais dos flocos de neve, uma vez que neles existem relações fabulosas entre a aritmética e a geometria.

Enfim, os diálogos entre Teplotaxl e Robert ensinam este último a conversar sobre números e, de conversa em conversa, o menino descobre que eles são um grande assunto, desses que dão vontade de falar durante horas e horas.
O livro nega desde o início aquele lugar-comum segundo o qual quem gosta de matemática não gosta de literatura ou, numa outra versão, quem sabe fazer contas não sabe escrever.
Robert, o menino do pijama azul, fazia parte dessa maioria que acha os números não só monstruosos, mas também absurdos e inúteis. Um dia, entretanto, ele começa a sonhar com um certo Teplotaxl, um diabo que pinta e borda com a matemática. No total, são doze sonhos, e a cada sonho o tal Teplotaxl faz malabarismos tão interessantes que os números simplesmente deixam de ser malditos. Ficam claros para Robert. Claros e diabolicamente divertidos.
Tudo se torna então tão fácil que Roberto quer saber cada vez mais — e com ele o leitor deste romance maravilhoso, que é já um grande sucesso internacional.
Entretanto, se quiser ver um trabalho feito por alunos, acerca deste livro, é só ver vídeo que se segue.

Não será preciso castigar os homens

Educai as crianças e não será preciso castigar os homens.

Em qualquer triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma do quadrado dos catetos.

Pitágoras

Parabéns

No dia 22 de Outubro, comemoraram-se os 125 anos do Meridiano de Greenwich. Essa linha imaginária assinala a Longitude (0° 0' 0") e divide a Terra nos hemisférios oriental e ocidental – tal como o Equador a divide nos hemisférios norte e sul (Latitude 0º 0' 0"). Assim, qualquer ponto da superfície da Terra, se pode localizar através dessas duas coordenadas – longitude e latitude.
O Meridiano de Greenwich é o meridiano que passa sobre a localidade de Greenwich (no Observatório Real, nos arredores de Londres, Reino Unido) e que, por convenção, divide o globo terrestre em ocidente e oriente. Foi estabelecido por Sir George Biddell Airy em 1851.
Definido, por acordo internacional em 1884, como o primeiro meridiano, serve de referência para calcular distâncias em longitude e estabelecer os fusos horários. Cada fuso horário corresponde a uma faixa de quinze graus de longitude, sendo a hora de Greenwich chamada de Greenwich Mean Time (GMT).
O Meridiano de Greenwich atravessa dois continentes e sete países. Na Europa: Reino Unido, França e Espanha; na África: Argélia, Mali, Burkina Faso e Gana. O seu antimeridiano é o meridiano de 180º, que coincide fugazmente com a irregular Linha Internacional de Mudança de Data. Este cruza, ainda, uma parte da Rússia no estreito de Bering e uma das ilhas do arquipélago de Fiji, no Oceano Pacífico.
Como já referi, a 22 de Outubro de 1884, há precisamente 125 anos, foi aprovado, o meridiano de Greenwich como Meridiano de referência para todo o mundo, na Conferência Internacional do Primeiro Meridiano, em Washington D. C., Estados Unidos.
A partir dessa altura, para os países que aceitassem a norma, a longitude 0° passaria pelo Observatório Real de Greenwich, nos arredores de Londres. Além disso, o globo passava a estar dividido em 24 "gomos", os fusos horários, com uma hora ou 15 graus cada um. Os fusos horários seriam contados positivamente para leste, e negativamente para oeste, até ao Meridiano de 180º - o Anti-Meridiano, situado no Oceano Pacífico, onde seria a Linha Internacional de Mudança de Data.
Deve-se a Eratóstenes (276-196 AC) a base do sistema de coordenadas que ainda hoje se usa e que permite localizar, através de uma latitude e de uma longitude, qualquer lugar na superfície do globo. Se a questão da latitude sempre foi pacífica, medindo-se a partir dos zero graus do Equador, para norte e para sul, já a da longitude demorou muito mais tempo a padronizar-se.

Geografia Versus Matemática

O vídeo que vos proponho hoje é uma verdadeira aula de Geografia e de Matemática. Explica de forma simples a Matemática do Globo Terrestre.

A Matemática

Este é um poema que já circula há algum tempo na Net. Desconheço o autor ou melhor, só conheço o pseudónimo.
Quero contudo partilhá-lo aqui, porque quem o escreveu demonstra, para além de um grande sentido de humor, um enorme domínio quer da língua portuguesa quer da matemática.

A Matemática

Um Quociente apaixonou-se
Um dia
Doidamente
Por uma Incógnita.

Olhou-a com seu olhar inumerável
E viu-a, do Ápice à Base...
Uma Figura Ímpar;
Olhos rombóides, boca trapezóide,
Corpo ortogonal, seios esferóides.

Fez da sua
Uma vida
Paralela à dela.
Até que se encontraram
No Infinito.

"Quem és tu?" indagou ele
Com ânsia radical.
"Sou a soma do quadrado dos catetos.
Mas pode chamar-me Hipotenusa."

E de falarem descobriram que eram
O que, em aritmética, corresponde
A alma irmãs
Primos-entre-si.

E assim se amaram
Ao quadrado da velocidade da luz.
Numa sexta potenciação
Traçando
Ao sabor do momento
E da paixão
Rectas, curvas, círculos e linhas sinusoidais.

Escandalizaram os ortodoxos
das fórmulas euclidianas
E os exegetas do Universo Finito.

Romperam convenções newtonianas
e pitagóricas.
E, enfim, resolveram casar-se.
Constituir um lar.
Mais que um lar.
Uma Perpendicular.
Convidaram para padrinhos
O Poliedro e a Bissectriz.
E fizeram planos, equações e
diagramas para o futuro
Sonhando com uma felicidade
Integral
E diferencial.

E casaram-se e tiveram
uma secante e três cones
Muito engraçadinhos.
E foram felizes
Até àquele dia
Em que tudo, afinal,
se torna monotonia.

Foi então que surgiu
O Máximo Divisor Comum...
Frequentador de Círculos Concêntricos.
Viciosos.

Ofereceu, a ela,
Uma Grandeza Absoluta,
E reduziu-a a um Denominador Comum.

Ele, Quociente, percebeu
Que com ela não formava mais Um Todo.
Uma Unidade.
Era o Triângulo,
chamado amoroso.
E desse problema ela era a fracção
Mais ordinária.

Mas foi então, que Einstein descobriu a Relatividade.
E tudo que era expúrio passou a ser Moralidade
Como aliás, em qualquer Sociedade.

Texto extraído do livro "Tempo e Contratempo", Edições O Cruzeiro - Rio de Janeiro, 1954, pág. sem número, publicado com o pseudônimo de Vão Gogo.

Marismas

Marismas são terrenos encharcados à beira-mar e ricos em biodiversidade. Através de excelentes fotografias aéreas podemos ver, aqui, as marismas atlânticas andaluzas. A beleza e a harmonia dos fractais na natureza , em Doñana. Doñana que é um dos Parques Nacionais de Espanha e está bem pertinho de nós. Uma excelente sugestão de passeio.